Comment les élèves apprennent les fractions

Aaaaah, les fractions… 😁️ Je ne compte plus les élèves qui me disent n’avoir jamais compris les fractions. Mais n’avoir jamais compris quoi, au juste? Parce que les fractions, c’est vaste.

Je me suis vite rendu compte que si je voulais pouvoir y voir plus clair, je devais comprendre en détail par quelles étapes les élèves passent dans leur apprentissage du concept. Et pour ce faire, j’ai découvert une vraie pépite: le livre Developing Fractions Knowledge. de A. J. Hackenberg et al 😍️ Non seulement les étapes d’apprentissage y sont très bien décrites, mais en plus les auteurs fournissent des tas d’activités pour évaluer et développer le raisonnement des élèves.

Je vais vous expliquer en résumé ce que j’ai compris de ce bouquin.

Au tout début, on apprend à partitionner correctement en parts égales, par exemple une longue barre. D’abord en 2, puis 3, 4, 5… La difficulté à ce niveau, c’est de réussir à coordonner 2 contraintes: il faut à la fois faire le bon nombre de parts égales ET utiliser l’entièreté de la barre.

À partir de ces expériences, on commence à introduire le langage des fractions, et la notion de « parties dans un tout ». L’élève conçoit la fraction $\frac{3}{5}$ comme 3 parts parmi 5 parts égales, mais iel ne réalise pas que la référence au tout est importante. Du coup, son raisonnement avec le concept est parfois surprenant. Le plus stupéfiant pour moi, c’est qu’à ce stade, iel n’a pas encore conscience qu’avec 5 parts d’$\frac{1}{5}$ on sait reformer le tout. Dingue, non?! 😮

Pour arriver à intégrer ce fait, l’élève doit faire des expériences d’itération: des activités qui lui demandent de prendre une part et de la reporter successivement à la suite afin de reformer le tout, comme on le ferait avec une petite latte pour mesurer une grande longueur. Ce faisant, il se sert de fractions unitaires (c’est-à-dire de type $\frac{1}{n}$) pour mesurer. C’est via ce genre d’expériences qu’iel finira par intégrer le lien multiplicatif entre une fraction unitaire et le tout: le tout est composé de $n$ fois une part $\frac{1}{n}$.

Après vient le plus gros morceau. L’élève commence à concevoir n’importe quelle fraction comme un multiple d’une fraction unitaire: iel généralise l’aspect multiplicatif des fractions. Pour iel $\frac{3}{5}$ devient la même chose que $3\cdot \frac{1}{5}$. Avant cela, iel voit $\frac{3}{5}$ comme $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$ , et encore avant iel ne faisait aucun lien mathématique entre $\frac{1}{5}$ et $\frac{3}{5}$. À ce niveau, iel peut commencer à faire sens des fractions impropres (les fractions dont le numérateur est plus grand que le dénominateur) comme $\frac{7}{5}$. Et les fractions deviennent pour iel des nombres à part entière. Et c’est seulement à ce stade que l’élève peut pleinement faire sens des règles de calcul des fractions.

C’est souvent cet aspect multiplicatif qui n’est pas intégré. Le réflexe, quand on veut réexpliquer les fractions à quelqu’un, c’est de partir de la conception partie-tout: $\frac{3}{5}$ c’est 3 parts parmi 5. Mais ce n’est généralement pas là où l’élève coince, c’est après. Donc ce genre de remédiation ne sert à rien ☹️ Ce qu’il faut c’est l’amener à itérer des fractions unitaires pour comprendre qu’une fraction peut servir à mesurer quelque chose.

En fait, ce n’est pas tellement étonnant que tant d’élèves bloquent à ce niveau: pour pouvoir concevoir les fractions comme nombres, on doit être capable de coordonner 3 niveaux d’unités, alors que les interprétations intermédiaires sont accessibles à ceux qui savent coordonner seulement 2 niveaux. Et passer de 2 à 3 est un shift mental énorme que beaucoup d’élèves n’ont jamais fait. Mais ça, c’est une autre histoire, j’en parlerai dans un prochain post 😉️

Photo-bannière de Alberto Antoniazzi sur Flickr.