Suites arithmétiques — contrer les tentations de proportionnalité
Quand on fait des suites arithmétiques (sans leur donner de formules qu’ils apprennent cœur, histoire qu’ils réfléchissent un peu à ce qu’ils font 😉️), beaucoup d’élèves meeeuuurent d’envie d’en faire une situation de proportionnalité 😁️ Et là on a juste envie de leur dire « Mais non, ce n’est pas proportionnel ici! » Sauf que ça, ce n’est pas un commentaire qui va être compris. Du coup, il faut trouver LE truc qui va faire que l’élève soit confronté·e à son erreur et réalise par elle-même que son raisonnement est faux. Parce que s’iel ne voit pas pourquoi c’est faux, iel le refera encore 🔁 et encore 🔁 et 🔁🔁
D’abord un conseil: commencez toujours par mettre un contexte léger par-dessus un problème de suite, ça permet de distinguer beaucoup plus facilement les notions de rang et de terme et de concrétiser le problème. Une fois qu’ielles commencent à avoir l’habitude, on peut passer aux problèmes nus. Et si un élève a des difficultés, on peut toujours reposer un contexte par-dessus pour l’aider à faire sens du problème. Perso, je parle souvent de la distance parcourue avec le nombre de pas (ou de sauts).
Trouver un terme
Contexte: Dans une salle de cinéma, chaque rangée a 2 sièges de plus que la précédente.
| Rang (\(n\)) | 1 | 14 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Terme (\(u_n\)) | ? | 42 |
Voici ce que je pose comme question dans chaque cas de figure:
- Le coup de la proportionnalité: \(42/14 = 3\), donc \(u_1=3\), il y a 3 sièges à la 1ère rangée.
- Du coup à la 2ème rangée il y en a combien? 6. Mais je croyais que c’était 2 sièges en plus par rangée?!
- Pour aider à mettre sur la bonne voie:
- il y a combien de sièges à la 13ème? À la 12ème? (en fonction de l’élève il faudra peut-être d’abord demander le nombre de sièges à la 15ème et 16ème).
- Si l’élève fait laborieusement “-2” à chaque étape:
- Combien de fois devras-tu retirer 2 sièges? et si ça n’aide pas Il y a combien de rangées entre la 1ère et la 14ème? et s’iel répond 14: Et entre la 2ème et la 14ème?
Trouver la raison
| Rang (\(n\)) | 30 | 40 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Terme (\(u_n\)) | 120 | 200 |
- Le coup de la proportionnalité: \(120/30 = 4\) ou \(200/40=5\).
- Du coup, je lui fais calculer l’autre 😋️
- Pour mettre sur la bonne voie:
- Pour passer de l’un à l’autre [je pointe avec mon doigt] tu fais combien de pas? 10. Et tu avances de combien? 80m Donc tu avances de 80m en faisant 10 pas. De combien avances-tu en faisant 1 seul pas?
Bonus: Ici, certains vont aussi en déduire que \(u_1 = 8\). Du coup leur demander si \(u_{30}\) vaut bien \(8\cdot 30 = 240\) 😙️
Trouver un rang
Raison de 300.
| Rang (\(n\)) | 5 | ? | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Terme (\(u_n\)) | 100 | 1000 |
- Le coup de la proportionnalité: on fait “\(\cdot 10\)” pour passer de 100 à 1000, donc on va faire \(5\cdot 10 = 500\) et \(u_{50} = 1000\).
- Au fait, \(u_4\) vaut combien? \(-200\). Donc \(u_{40} = 10\cdot (-200) = -2000\)?!
- Pour mettre sur la bonne voie:
- Tu dois avancer de combien de mètres? 900. Tu fais des pas de combien? 300. Combien de pas de 300m pour parcourir 900m?
Et vous, il y a d’autres cas où vous avez du mal à confronter l’élève à son erreur?
Photo-bannière de Mary Taylor sur Pexels.