Parlons radian
Pas toujours facile, le radian! Dans cet article, je vais parler d’activités de manipulation, d’exercices pour intégrer la définition, et de mes déconvenues alors que j’essaie d’amener mes élèves à relier la formule du périmètre d’un cercle avec la mesure d’un angle complet: le fameux \(2\pi\) ✌️
Introduire le radian en manipulant
Chaque année, depuis 3 ans, je teste une nouvelle activité manipulative pour introduire la notion de radian. Mais je n’ai pas encore trouvé quelque chose qui me convenait 😕
La 1ère fois, j’avais distribué à chaque élève un objet circulaire de taille différente. Chacun devait alors reporter le rayon sur la circonférence, et on constatait que tout le monde avait à peu près le même angle.
Problème: ça demande une sacrée préparation de matériel. Cette année-là, j’avais un petit groupe, mais pour un plus gros, je coince 😑️
La 2ème fois, j’ai fait construire des secteurs circulaires de 1 radian, à nouveau de tailles différentes, qu’on a comparés.
Problème: je leur ai fait suivre une procédure pour obtenir ce secteur, et ce faisant j’ai perdu les 3 quarts de la classe 😑️
Et cette année, au lieu de reporter le rayon sur la circonférence, j’ai fait tourner le disque sur sa circonférence (comme une roue) pour qu’il parcoure une distance égale à son rayon. Je me disais que ça allait être plus simple que de reporter une longueur, et aussi que je pouvais faire le lien avec quelque chose de concret: le compteur kilométrique d’un vélo (je leur ai même amené une jante de vélo, on a pu constater que la formule du périmètre du cercle nous donnait bien la distance parcourue par la roue après un tour 😁️ ✌️)
Problème: ce n’est pas si facile de faire rouler un disque en papier, et surtout, c’est difficile pour eux de faire le lien entre la distance parcourue par la roue, et celle qu’on a déployée sur la circonférence 😑️
Bref, ça n’a pas mieux marché, et je cherche encore quoi faire 🤔️ Quelqu’un a une idée?
Les exercices qui débloquent la définition
Après cette activité introductive, on en vient à la définition suivante:
Un angle de 1 radian correspond à l’angle qui intercepte un arc de longueur \(r\) dans un cercle de rayon \(r\).
Et j’ajoute ce petit schéma pour qu’ils aient une chance de comprendre quelque chose 😋️ 
Alors, généralement à ce stade, ça reste assez vague.
C’est alors que je leur propose cette série d’exercices:
La 1ère page est faite ensemble, et sert à leur faire comprendre le sens des graduations (elles mesurent la longueur sur la circonférence, pas l’angle!) et qu’ils ont besoin de mesurer le rayon pour répondre aux questions.
Et puis ils se lancent 🚀
Quand ils ont une question, je les ramène au schéma de la définition. Et je les laisse réaliser qu’ils doivent mesurer le rayon pour y répondre. Je fais exprès de ne pas donner la longueur pour qu’ils fassent ce cheminement: « J’ai besoin de quelque chose. Mais de quoi? Ah, le rayon! »
Au bout de la série, ils ont déjà fameusement débloqué le sens de la définition, c’est assez efficace 😘️
\(2\pi\) radians et le périmètre
Tout au long du chapitre, je leur fais faire régulièrement le lien entre le fait que « un tour complet = \(2\pi\) radians », et « périmètre du cercle = \(2\pi \cdot\) son rayon ».
Genre, j’insiste.
Beaucoup.
BEAUCOUP!
Je pose la question des tonnes de fois « Combien de radians pour un tour complet? Pourquoi? Quel est le lien entre la formule du périmètre et le fait que 360° = \(2\pi\) radians? etc. »
Et malgré ça, ça n’a pas l’air de pénétrer leur esprit 🤨️ Je dois dire que ça m’a assez surpris cette année.
J’ai plusieurs hypothèses:
- Est-ce que c’est parce qu’en fait, ils ne sont pas vraiment familiers avec la formule du périmètre? Quand on la rappelle, beaucoup me donnent celle de l’aire: \(\pi\,r^2\), ou une variante 🤪️ Donc si cette formule du périmètre n’est pas comprise, je peux difficilement m’attendre à ce qu’ils prennent appui dessus.
- Je crois aussi que certains ne perçoivent pas le fait que si le périmètre fait \(2\pi\cdot r\), cela veut dire que le rayon rentre \(2\pi\) fois dans le périmètre. Typiquement, je passe à l’écriture décimale \(6,28\cdot r\) pour mieux faire passer ça, mais même comme ça, je ne suis pas sûr que ce soit clair pour tout le monde.
- Après, il y a d’autres obstacles qui peuvent obstruer la compréhension, comme le fait que \(\pi\) est un symbole bizarre qui représente un nombre, ou qu’est-ce que veut dire “mesurer une courbe”?
Je devrai mieux anticiper ça la prochaine fois, j’ai de quoi réfléchir 😁️
Dans cet article, je donne des pdf d’exercices. Ceux-ci ont été rédigés en LaTeX avec TikZ pour les dessins. Si vous êtes intéressés par le fichier source, contactez-moi!
Photo-bannière de Marjan Blan sur Unsplash.