Connecter, connecter, connecter
Depuis que j’ai lu 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions (bon ok, j’ai pas tout lu 😚️), je suis beaucoup plus attentif à activement connecter les maths formelles aux maths utilisées spontanément par les élèves.
Aujourd’hui, je voulais partager un exemple de ce travail de connexion.
Dans le chapitre « Modèles de croissance » en 5TQ, on traite de beaucoup de choses, et en particulier des racines \(n\)-ièmes afin de résoudre des équations du style \(a x^n = b\), qui apparaissent naturellement dans ce chapitre.
J’avais (ré-)introduit la veille la notion de racine carrée, vue comme inverse de l’opération « mettre au carré »: 
Pour commencer le cours ce jour-là, je voulais leur donner un problème faisant intervenir une racine carrée afin de voir s’ils savaient utiliser cette notion en contexte. Et puis, aussi, je voulais qu’ils commencent à faire le lien entre l’outil « racine » et les équations du style \(ax^n = b\).
Voici le problème que je leur ai donné, tout en image: 
La surface totale du carrelage faisant 300 cm², quelle est la longueur du côté d’une dalle?
Je les laisse libre. À part un ou deux \(\sqrt{300}\) dus à une mauvaise compréhension de l’énoncé, la plupart (tous?) l’ont résolu comme ceci:
\[300/6 = 50\]
\[\sqrt{50} = 7,07\]
Well done! 👍️
C’est maintenant que le travail commence réellement.
Je demande à un élève d’expliquer son raisonnement, tout en veillant à lier les calculs au schéma en posant des questions du style « ce 50, ça représente quoi? »
Ensuite vient le moment de l’algébrification. Car je suis sûr qu’à ce stade, personne n’a fait le lien avec les équations du style \(ax^n = b\), puisqu’elles n’apparaissent nulle part dans leur travail! On remplit ce tableau progressivement:
| Longueur du côté | Aire totale |
|---|---|
| \(10\) | \(6\cdot 10^2\) |
| \(20\) | \(6\cdot 20^2\) |
| \(100\) | \(6\cdot 100^2\) |
| \(x\) | \(6\cdot x^2\) |
On sent que ça vient, il reste une chose: « Au fait, l’aire totale devait valoir combien? 300? » Et voilà 🪄 \(6x^2 = 300\). Oui oui, folks, vous venez de trouver l’équation vous-mêmes, et en plus vous l’avez déjà résolue sans le savoir! 😎️
Au fait, comment on résout une telle équation?
On y va, étape par étape, je les laisse aux commandes et retranscris: 
On retrouve les mêmes calculs que ceux qu’ils ont fait spontanément!
Et maintenant, dernière connexion, chère à mes yeux car elle prépare au raisonnement fonctionnel. On décompose le membre de gauche en opérations: 
On cherche quoi? L’entrée. On connait quoi? La sortie. Comment faire le chemin inverse? 
Oh tiens, ce sont les mêmes opérations que lors de la résolution de l’équation! Et ce sont les mêmes que dans leur résolution spontanée! Connexion 🔗, connexion 🔗, connexion 🔗!
Et là, un élève me demande: «Monsieur, on peut avoir un peu de temps pour noter tout ça?» 😲️ Mais bien sûr, faites donc! Dans ma tête on entendait « jackpoooooooooooooooooooooooot 🎉️»
Plus tard dans le cours, un contexte d’augmentation de prix nous a amenés à considérer l’équation \(300\,x^{10} = 600\). Ça, c’est une autre paire de manches, car le raisonnemnt spontané qu’ils ont si bien utilisé pour le problème de carrelage est nettement moins évident à produire. Par contre, j’ai tout de suite senti que le travail de connexion que l’on venait de faire leur a pavé un chemin pour se lancer dedans 😉️ Ça n’a pas suffit, bien sûr, mais petit à petit, les graines poussent 🌱️ C’est ça la beauté de ce genre de séquence: on tâte le terrain (leur raisonnement spontané), on plante des graines (les connexions), on les cultive (on refait les mêmes connexions plus tard), et on admire leur croissance ❤️
Photo-bannière de Karsten Winegeart sur Unsplash.