Les pousser à donner du sens à leurs calculs de dérivées et intégrales

On a beau faire le lien encore et encore entre intégrale et aire, et entre dérivée et pente de la tangente, lorsque le temps des calculs arrive, le lien se perd 👋 J’imagine que la charge cognitive devient trop importante. Je vous propose ici des exercices pour forcer ce lien et pousser les élèves à donner du sens à leurs calculs, activement 🙂️

Commençons par les intégrales

Après avoir vu le théorème fondamental, les 1ers exercices de calcul d’intégrale que je donne sont toujours accompagnés d’un schéma dans un repère orthonormé, comme celui-ci.

Calcule l’aire grisée ci-dessous.

Au début, je me disais que le schéma allait leur permettre de rendre la question concrète et qu’ils pourraient aisément interpréter et vérifier leur résultat, en comparant avec l’aire grisée.

Sauf que… en fait… non 😅 Ils l’ignoraient complètement 🙄️ Je sais, j’étais encore naïf à l’époque, je ne réalisais pas que si je voulais qu’ils en fassent quelque chose, je devais leur demander d’en faire quelque chose 😁️

Du coup, je m’y suis pris autrement.

J’ai commencé par leur donner le graphique, en leur demandant d’estimer, à vue, la valeur de l’intégrale. Comme ceci:

Voici ci-dessous le graphique d’une fonction \(f\). Estime la valeur de l’intégrale \(\int_1^4 f(x)\mathop{}\!\mathrm{d} x\).

Alors, la 1ère fois, j’ai eu droit à des yeux ronds 😶 le temps qu’ils refassent le lien entre intégrale et aire, et qu’ils pensent à utiliser le quadrillage.

Et après, je les laisse se lancer dans les calculs (en donnant l’expression de la fonction), et constater qu’ils obtiennent quelque chose de très proche de leur estimation 😎️

Ce que j’aime bien avec cette approche, c’est qu’ils doivent eux-mêmes faire le lien entre aire et intégrale, ce n’est explicité nulle part. Et sans ce lien, ils ne savent pas répondre. De plus, juste estimer ne demande pas de compétence calculatoire, et ça leur permet de renforcer la notion d’aire, qu’ils n’ont pas toujours si bien acquise 😙️🎵

En revanche, si je leur demande de vérifier leur réponse après avoir fait le calcul, ils feront « oui oui, ok ». Et si je leur demande juste « calcule l’aire » comme je le faisais avant, ils finissent par intégrer que c’est un synonyme de « calcule l’intégrale », sans vraiment se rendre compte que le 12 qu’ils obtiennent en réponse correspond à 12 cm² sur le dessin, et qu’on voit bien que la courbe enferme à peu près 12 petits carrés.

Bref, leur demander d’estimer avant les implique beaucoup plus 😊

Au tour des dérivées

Du coup, cette année, j’ai fait le même genre de chose pour les dérivées. La différence, c’est que la dérivée correspond à un concept beaucoup plus complexe: la pente de la tangente. Alors, j’ai tourné ça comme ça:

• À partir du graphique de la fonction \(f\), estime la pente de la tangente au point spécifié (tu peux la tracer!);
• vérifie ton estimation en calculant la dérivée de \(f\) en ce point. \(f(x) = 2x^5-x+\frac{3}{2}\)

Et je dois dire que ça a aussi pas mal débloqué des choses 😁️

Ici, les 2 éléments qu’ils doivent lier ont été explicités (pente de tangente et dérivée), ce qu’ils doivent retrouver, c’est comment faire ce lien. Et c’est déjà assez chargé comme ça ☺️

Il est aussi intéressant de leur demander d’estimer \(f'(2)\) par exemple, à partir d’un graphique, mais ça exige alors d’eux de faire beaucoup de liens: entre la notation \(f'\) et le concept de dérivée, entre le mot dérivée et la pente de la tangente. Et puis, en quel point? Quelle droite? C’est quoi encore la pente? Bref, c’est le genre de question qu’il faut phaser avec soin 😉️

Pour mettre la main sur l’exercice complet, c’est par ici. Ce document a été rédigé en LaTeX. Si vous êtes intéressés par le fichier source, contactez-moi!

Photo-bannière de Lucas van Oort sur Unsplash.